Родился 12 июня (25 н.с.) в Елизаветграде в семье народовольца. Детские и юношеские годы пришлись на трудную пору российской истории, что будущий поэт испытал в полной мере.
В 1920-е Тарковский живет в Москве, с 1924 работает в редакции газеты «Гудок», в течение двух лет ведет отдел стихотворного фельетона.
В 1925 поступает учиться на Высшие государственные литературные курсы, которые оканчивает в 1929. Пишет стихи, публикует их в студенческом сборнике (1926).
С 1932 активно занимался переводами, уделяя особое внимание классической поэзии Востока. Ему принадлежат переводы стихов с туркменского, армянского, грузинского, арабского языка.
Во время Отечественной войны работал в армейской газете «Боевая тревога». Свои стихотворения Тарковский долго не публикует, они появляются в печати, когда поэту уже 50 лет. Затем в течение двадцати лет в разных журналах и альманахах были непечатаны стихи, составившие шесть поэтических сборников: «Перед снегом» (1962); «Земле земное» (1966); «Вестник» (1969); «Стихотворения» (1974); «Зимний день» (1980); «Избранное» (1982).
В 1983 выходят «Стихи разных лет», объединившие лучшие из напечатанных. Последняя книга поэта — «От юности до старости».
А. Тарковский всегда держался вдали от литературной суеты, многие годы жил в Переделкино. Ему принадлежат теоретические и критические статьи и рецензии.
Умер А. Тарковский в 1989 в Москве.
* * *
А все-таки я не истец,
Меня и на земле кормили:
— Налей ему прокисших щец,
Остатки на помойку вылей.
Всему свой срок и свой конец,
А все-таки меня любили:
Одна: — Прощай! — и под венец,
Другая крепко спит в могиле,
А третья у чужих сердец
По малой капле слез и смеха
Берет и складывает эхо,
И я должник, а не истец.